Se per te le frazioni sono sempre state uno degli argomenti più temuti, se non il più temuto, è arrivato il momento di affrontarle. Per questo motivo, in questo articolo troverai tutti i concetti che ti servono perché non ti venga voglia di scappare ogni volta che ne vedi una.
Come ogni lezione di matematica che si rispetti, troverai tanti esempi che ti aiuteranno a comprendere ogni concetto con chiarezza.
Come al solito ti faccio una premessa.
Le frazioni sono l’argomento forse più evitato. Quello che vorresti sparisse dal programma.
Lo so cosa pensi:).
“Come sarebbe bello un modo senza frazioni!”
Ma senza le frazioni non saremmo in grado nemmeno di capire come dividere una torta e quanto ce ne spetterebbe.
Si perché anche gli argomenti che sembrano più complessi puoi ritrovarli in azioni molto semplici, come la divisone di una torta. Soprattutto gli argomenti base della matematica.
E senza le basi, non si costruisce nulla.
Non so se ti ho letto nel pensiero.
Quello che so è che appena propongo un’esercizio dove c’è anche solo una frazione già vedo negli occhi di quello studente o di quella studentessa la voglia di scappare. Ma come abbiamo visto non puoi eliminarle o fare finta che non esistono. Anche se vorresti:).
L’unica cosa che puoi fare è imparare a conoscerle in modo da saperle affrontare, senza che ti prenda un colpo ogni volta che le vedi in un esercizio.
E poi quando affrontiamo qualcosa che non avremmo mai voluto affrontare, spesso scopriamo che quelli che avevamo erano solo pregiudizi e paure.
Quindi visto che non puoi cancellarle dalla faccia della terra andiamo ad affrontarle:).
Coraggio!
Allontana tutte le fonti di distrazione (una a caso le notifiche dello smartphone) e dedicati alla lettura dell’articolo:).
Cosa sono le frazioni
Capiamolo con un esempio. Uno tra i mille di quelli che avrai fatto alle scuole dell’infanzia, ma che avrai dimenticato. O forse no. Ma rinfrescare la memoria fa sempre bene.
Ti evito l’esempio della torta magari :).
Supponi di avere il seguente quadrato:
Come vedi, se consideriamo ogni lato formato da tre unità, è possibile dividerlo in 9 parti.
Cosa ti ricorda questa figura? A me una tavoletta di cioccolato. Meglio associarla a qualcosa di gradevole non trovi? E la cioccolata è decisamente buona :)!
Supponi adesso di volerne un pezzo (il quadratino in giallo). Hai preso 1 parte su 9 parti.
Questo lo indichiamo con una frazione:
Quindi la frazione non è altro che un rapporto tra due numeri: numeratore e denominatore. Il numeratore indica quante sono le parti che stai considerando e il denominatore il numero di parti in cui è stato diviso un oggetto.
Possiamo dire che se vogliamo la frazione di una qualsiasi grandezza dobbiamo dividere la grandezza in tante parti quante ne indica il denominatore e prendere tutti i pezzi che indica il numeratore.
Ad esempio se considero un segmento AB e ne vuoi prendere i 4/9 devi dividere il segmento AB in 9 parti e considerarne 4.
A volte, soprattutto quando si comincia a parlare di minimo comune multiplo tra frazioni, si rappresentano gli interi sotto forma di fraziono con denominatore unitario.
Quindi 5 è può scrivere come:
Frazioni equivalenti
Due o più frazioni possono rappresentare la stessa quantità anche se hanno numeratore e denominatore diverso.
Guarda la seguente immagine:
Come puoi vedere la parte colorata è la stessa, ma se vuoi tradurre le immagini in frazioni la prima corrisponde a 1/3 e la seconda a 2/6.
Queste due frazioni rappresentano la stessa area e se le applichiamo a qualunque altra grandezza ti daranno comunque due grandezze equivalenti.
Scritto questo, che è essenziale per farti capire il concetto di frazione equivalente, vediamo come puoi capire in maniera più veloce se due frazioni sono equivalenti.
Consideriamo le seguenti frazioni:
Se in ognuna di esse dividiamo il numeratore e il denominatore per divisori comuni fino a ottenere due numeri primi tra di loro otterremo che ognuna di esse è pari a 2/5.
Quindi da questo puoi renderti conto che le frazioni sono equivalenti.
A questo punto ne approfitto per dirti che se in una frazione numeratore e denominatore sono primi tra di loro (cioè si possono dividere solo per 1) le due frazioni sono ridotte ai minimi termini.
Impara a conoscere le frazioni
Le frazioni che puoi incontrare durante la tua avventura nel mondo della matematica si possono distinguere in tre tipologie.
Frazioni proprie
Sono le frazioni in cui il numeratore è minore del denominatore.
Facciamo degli esempi:
sono frazioni proprie.
Ricorda che queste frazioni rappresentano sempre numeri minori di 1. Questo perchè prendo sempre un numero minore di parti rispetto alle parti in cui viene divisa l’unità dal denominatore.
Se non ti è chiaro questo concetto riguarda un attimo il segmento AB che abbiamo utilizzato per rappresentare 4/9. Se AB rappresenta l’unità divisa in 9 parti, sono state prese solo 4 parti.
Per fissare meglio il concetto prova a fare la divisone tra il numeratore e il denominatore delle frazioni che ti ho scritto sopra, anche con la calcolatrice. Otterrai numeri minori di 1.
Frazioni improprie
In queste frazioni il numeratore è maggiore del denominatore.
Ad esempio:
sono frazioni improprie.
Esse rappresentano sempre numeri maggiori di 1.
Per rappresentare 8/5, infatti, non basta un solo segmento (che rappresenta l’unita ricordi?), diviso in 5. Occorre considerare due segmenti, ciascuno diviso in 5 parti, e prendere 8 parti:
Frazioni apparenti
In queste frazioni il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.
Sono quindi frazioni improprie:
Come puoi vedere, dividendo il numeratore per il denominatore, otterrai numeri interi:)
Come si fanno le operazioni con le frazioni
Adesso che sai che tipo di frazioni esistono e hai capito cosa rappresentano dobbiamo fare il passo successivo: devi saperle gestire quando te le trovi davanti.
Andiamo a vedere quindi quali sono le operazioni
Confronto tra frazioni
Quando ti trovi davanti a due o più frazioni come fai a confrontarle?
Iniziamo con degli esempi per darti subito un’idea di come comportarti in questi casi.
Consideriamo le seguenti frazioni:
In questo caso è immediato capire quale delle due è maggiore e quale è minore.
La prima è una frazione propria, quindi è un numero minore di 1, mentre la seconda è una frazione propria per cui è un numero maggiore di 1. Quindi la prima è minore della seconda.
E se abbiamo più frazioni proprie o improprie come nel seguente caso?
in questo caso il confronto non è immediato. Bisogna rendere le due frazioni confrontabili.
Per farlo:
- trova il m.c.m. dei denominatori;
- dividi il numero trovato per ciascuno dei denominatori e moltiplichi il risultato per numeratore e denominatore della frazione che stai considerando per il numero ottenuto.
- confronta i numeratori delle frazioni.
m.c.m. (5,3) = 15
Addizione e sottrazione tra frazioni
Per sommare tra di loro due o più frazioni devi riportarle allo stesso denominatore.
Per farlo ti basterà trovare il m.c.m. dei denominatori.
Considera la seguente somma tra due frazioni:
Come procedere?
- trovo il m.c.m tra i due denominatori: m.c.m (3;21) =21
- metto il valore trovato come denominatore comune;
- divido il denominatore comune per ogni denominatore e moltiplico il risultato per il numeratore corrispondente.
Accertati sempre se puoi ridurre la frazione che risulta ai minimi termini.
In questo caso, puoi dividere sia il numeratore che il denominatore di 81/21 per 3, che è il M.C.D. tra 81 e 21. Otterrai:
Per completezza vediamo un esercizio in cui compare la sottrazione tra due frazioni:
In questo caso avrai:
m.c.m. (5;15) =15
Quindi devi procedere così:
Moltiplicazione tra frazioni
Quando fai il prodotto tra due o più frazioni otterrai una frazione che ha per numeratore il prodotto tra i numeratori e per denominatore il prodotto tra i denominatori.
Passiamo subito alla parte pratica.
Considera il seguente prodotto tra due frazioni e applica la regola che ho appena scritto:
Questo è il caso base, in cui non era necessaria alcuna semplificazione.
Importante!
Ricorda sempre di verificare che non ci sia nulla da semplificare prima di procedere alla moltiplicazione.
Questo è importante non solo quando hai una semplice moltiplicazione tra due frazioni ma, soprattutto, quando la moltiplicazione fa parte di un’espressione più complessa, in cui ritrovarsi numeri astronomici è un attimo se non semplifichi!
Come? Guarda l’esempio:
Divisione tra frazioni
Per eseguire questa operazione è importante che tu sappia cos’è una frazione inversa.
Consideriamo alcune frazioni e le loro inverse:
Quindi cos’è una frazione inversa?
Quella che si ottiene dalla frazione data scambiando il numeratore con il denominatore.
Fai attenzione ai numeri interi. Puoi considerare il loro denominatore pari ad uno se devi invertirli.
Perché ho voluto darti questa definizione? Perché per eseguire la divisone tra due frazioni devi fare la prima per l’inversa della seconda.
Osserva l’esempio:
Quindi come vedi prima abbiamo trasformato la divisione in una moltiplicazione e poi abbiamo moltiplicato, eseguendo prima le semplificazioni.
Potenza di una frazione
La potenze è il prodotto di tante frazioni uguali alla base.
Quindi ad esempio:
Quindi la regola è:
per elevare una frazione a potenza si elevano a potenza sia il numeratore che il denominatore tante volte quante ne indica l’esponente.
Se la frazione è dotata di segno si tiene conto della regola dei segni.
Facciamo alcuni esempi:
Fai attenzione alle ultime 2.
La vedi la differenza?
Nel primo caso il meno è dentro la parentesi e questo vuol dire che il segno è compreso nell’elevamento a potenza.
Nel secondo caso il segno è davanti alla parentesi. Per cui, prima devi elevare al quadrato il numero dentro la parentesi e poi moltiplicare il risultato per il meno.
Occhio perché questo è un errore molto frequente.
Espressione con le frazioni aritmetiche
Valgono le stesse regole che abbiamo visto nelle espressioni.
Se non ci sono parentesi esegui nell’ordine:
- potenze;
- moltiplicazioni e divisioni;
- addizioni e sottrazioni.
Se ci sono le parentesi inizia i calcoli eliminando prima le parentesi tonde, poi le quadre e infine le graffe.
All’interno delle parentesi esegui sempre le operazioni nell’ordine scritto sopra.
Un video è di gran lunga più efficace in certi casi. Guarda con attenzione come ho svolto un’espressione con le frazioni:)!
Conclusioni
Le frazioni sono, una volta conosciute, facili da affrontare.
Impara le regole di base che ti ho scritto facendo per ognuna tanti esercizi.
Nei libri di testo troverai gli esercizi in ordine di difficoltà e anche esercizi che ti aiuteranno a muoverti con la terminologia.
Il mio consiglio è sempre quello di farne quanti più possibile (tutti è meglio :)).
