Monomi: la base dell’algebra (che non puoi permetterti di trascurare)

I monomi
Immagine di Daniela Liardo

Daniela Liardo

Quando si comincia a studiare l’algebra, la prima cosa che si incontra sono loro: i monomi.

A un primo sguardo possono sembrare semplici.  Dopotutto, sono solo numeri e lettere messi insieme. Ma dietro questa apparente semplicità si nasconde una struttura che accompagna tutta la matematica delle superiori (e anche oltre).

Spesso, però, i monomi vengono dati per scontati dagli studenti e dalle studentesse.

Li si liquida in fretta per correre a esercizi più complessi, ma se non si è padrone di questa base, tutto quello che viene dopo — polinomi, scomposizione, equazioni — si trasforma in un percorso a ostacoli.

In questo articolo voglio guidarti alla scoperta dei monomi con calma e chiarezza.

Vedremo insieme cos’è un monomio, come si riconosce, quali sono le sue parti, e come fare tutte le operazioni fondamentali.

Se vuoi davvero costruire basi solide in algebra, questo è il punto da cui partire.

Però prima vorrei farti una piccola premessa. Nell’articolo vedrai che spesso userò delle definizioni per introdurre i vari concetti.

E no, le definizioni non sono un optional, qualunque scuola tu faccia. Ma sono importantissime.

In matematica, ogni parola ha un significato preciso. Una definizione non è un esercizio di memoria, ma una mappa che ti guida nei ragionamenti.

Conoscere bene una definizione ti permette di:

  • Riconoscere subito un oggetto matematico (come distinguere un monomio da un polinomio);

  • Sapere cosa puoi farci (quali operazioni sono ammesse e quali no);

  • Evitare errori che derivano da confusione tra concetti simili (come sommare monomi non simili);

  • Affrontare problemi complessi partendo da basi solide.

Spesso quando non riesci a risolvere un esercizio, non è perché non sei “portata o portata”, ma solo perché non hai chiaro cosa stai guardando. Le definizioni servono proprio a questo: a fare chiarezza!

Le definizioni le trovi nei vari paragrafi in corsivo.

Detto questo possiamo iniziare.

Perché i monomi sono importanti

Con i monomi introduciamo il calcolo letterale e iniziamo a costruire le basi dell’algebra.

Un monomio è come una parola in una frase: da sola può sembrare che non abbia senso, ma è indispensabile per costruire significati. In algebra, i monomi sono i mattoni che ci permettono di:

  • Semplificare espressioni
  • Risolvere equazioni
  • Comprendere i polinomi
  • Scomporre e fattorizzare

Se non hai capito i monomi, quindi, non puoi comprendere bene gli argomenti successivi.

Definizione di monomio

Cos’è un monomio?

È un’espressione costituita da un coefficiente (numero) e da lettere (parte letterale) legati solo da operazioni di moltiplicazione.

Quindi:

  • il numero si chiama coefficiente.
  • Le lettere possono avere degli esponenti, che devono essere numeri naturali. Questo vuol dire niente esponenti negativi. 

Anche se dovresti saperlo, dalla lezione sulle potenze, ti specifico meglio cosa voglio dire, quando dico che non ci devono essere potenze con esponenti negativi…non ci devono essere lettere al denominatore!

Numeri si, ma lettere no!

Ad esempio:

2a^2b^3c

è un monomio perché, come dice la definizione, c’è un coefficiente (la parte numerica) e una parte letterale. Tutte le lettere hanno come esponenti numeri naturali.

2a^2\frac{b^3}{c}

non è un monomio perché la lettera  c si trova al denominatore e questo vuol dire che il suo esponente è pari a -1 (che non è un numero naturale).

Ti ricordo, non si sa mai, che i numeri naturali sono i numeri interi e positivi :).  

Ti aggiungo un’altra precisazione. E lo faccio partendo da un esempio.

Supponi di avere la seguente scrittura:

3x^2y^4x^2\frac{2}{5}

Questo è un monomio, ne ha tutte le caratteristiche, ma non è scritto in forma normale. Cosa voglio dire?

Un monomio è scritto in forma normale quando ha un solo coefficiente e la parte letterale è formata da lettere che compaiono una sola volta, ciascuna con il proprio coefficiente.

Allora cosa devi fare per portare questo monomio in forma normale? 

Moltiplichi tra loro i coefficienti e le lettere uguali, per poi riscrivere il monomio

Dalla moltiplicazione tra i coefficienti otterrai: 

3\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{5}

Dalla moltiplicazione tra le lettere uguali (x in questo caso) avrai:

x^2\cdot x^2=x^4

Quindi il tuo monomio scritto in forma normale sarà:

\frac{6}{5}x^4y^4

Grado di un monomio

 

Devi distinguere tra grado rispetto ad una lettera e grado complessivo.

Mi raccomando, questa distinzione è importante.

Ora ti darò entrambe le definizioni, accompagnando ciascuna con un esempio.

” Il grado di un monomio rispetto ad una lettera è il grado con cui compare quella lettera.”

Considera il seguente monomio:

7a^3b^2c^4d
  • il grado rispetto alla lettera a è 3;
  • il grado rispetto alla lettera b è 2;
  • il grado rispetto alla lettera c è 4;
  • il grado rispetto alla lettera d è 1;

Invece cos’è il grado complessivo?

Si ottiene sommando i gradi di tutte le lettere.

Quindi la definizione è:

“il grado complessivo di un monomio è la somma dei gradi delle singole lettere che compongono la parte letterale”.

Considera il monomio precedente. Se sommi i gradi di ogni lettera otterrai: 

                                                                  3+2+4+1 = 10

Monomi simili, opposti e uguali

Leggi questo paragrafo con attenzione perché è fondamentale per la comprensione degli argomenti seguenti.

Pronto o pronta? 

Iniziamo con la prima definizione.

“Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale”

Questo vuol dire che ci devono essere le stesse lettere con gli stessi esponenti.

Sono simili i due seguenti monomi:

-5a^3b^4c^2 \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, 7a^3b^4c^2

Non sono simili i seguenti monomi:

3a^2b^4c^3 \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, 2a^4b^2c

Perché non sono simili? Guardali bene. hanno le stesse lettere è vero, ma le terre hanno esponenti diversi. basta anche solo una lettera con esponente diverso perché non siano simili. 

Quindi fai attenzione perché è uno degli errori più frequenti quello di pensare che due monomi siano simili perché ci sono le stesse lettere, anche se gli esponenti sono diversi.

Stessa parte letterale vuol dire stesse lettere con gli stessi esponenti.

E i monomi opposti?

“Due monomi sono opposti se hanno la stessa parte letterale e coefficienti opposti.”

Ad esempio sono monomi opposti:

-3x^2y^4z^3 \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, +3x^2y^4z^3

Come vedi, i due monomi hanno la stessa parte letterale, ma i coefficienti sono uno l’opposto dell’altro.

Ti ricordo cosa vuol dire opposti.

Quando sommi due numeri opposti la loro somma fa zero. 

Ricorda questa definizione perché ti servirà per dopo.

Quando invece due monomi sono uguali?

Quando hanno la stesso coefficiente e la stessa parte letterale.

Anche in questo caso ti faccio un esempio:

-7x^2y^4z^3 \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, -7x^2y^4z^3

sono due monomi uguali

Operazioni tra monomi

 Te l’ho già detto, ma sono sicura che una raccomandazione in più non fa mai male.

Non passare a questo paragrafo se prima non hai fatto un sufficiente numero di esercizi sui paragrafi precedenti.

Quando un numero di esercizi si può definire sufficiente?

Diciamo così.

Quando ti rendi conto che li sai fare…devi farne ancora almeno altri dieci!

Somma algebrica tra monomi

 La somma di due o più monomi simili è un monomio che ha:

  • per coefficiente la somma dei coefficienti;
  • per parte letterale la stessa parte letterale dei monomi di partenza.

Perché specifico che i monomi devono essere simili?

Perché solo la somma o la differenza di monomi simili mi restituisce un monomio!

Ti faccio subito un esempio:

+5a^3b^2c+4a^3b^2c=(5+4)a^3b^2c=9a^3b^2c

Riguarda bene la definizione. In poche parole, devi sommare i coefficienti e ricopiare la parte letterale.

Qui preferisco farti altri esempi. Considera la seguente differenza:

+8x^2y^3z-3x^2y^3z=(8-3)x^2y^3z=5x^2y^3z

Come ti ho detto nel caso dei numeri relativi, quando ti ho parlato delle regola dei segni, anche in questo caso possiamo parlare di somma algebrica.

Infatti, la sottrazione tra due numeri o espressioni può essere considerata come la somma tra il primo termine e l’opposto del secondo termine.

Quindi se hai dubbi vai a ripassare i numeri relativi.

Ti faccio un altro esempio:

-8x^2y^3z^4-3x^2y^3z^4=(-8-3)x^2y^3z^4=-11x^2y^3z^4

Questo è il caso in cui i due coefficienti hanno lo stesso segno negativo. 

Ribadisco: se hai dubbi non andare avanti, ma ripassa i numeri relativi!

Prodotto tra monomi

Il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha:

  • per coefficiente il prodotto dei coefficienti;
  • per parte letterale tutte le lettere che compaiono nei fattori elevati alla somma degli esponenti con cui ciascuna lettera compare.
Cosa vuol dire? 
Ti faccio subito un esempio. Ma tu prima leggi bene la definizione. 
 
(+5x^ 3y^2)(-2x^2yz)=-10x^{(3+2)}y^{(2+1)}z=-10x^5y^3z

Vediamo come ho fatto.

Quando esegui una moltiplicazione tra due monomi fai questi passaggi in ordine:

  • Prima stabilisci il segno, quindi moltiplica segno per segno secondo le regole che trovi in questa lezione;
  • il secondo step è quello di moltiplicare i coefficienti tra loro;
  • l’ultimo step è quello di moltiplicare le lettere tra loro usando le proprietà delle potenze. 
Cosa intendo quando dico che appena moltiplichi le lettere tra loro devi usare le proprietà delle potenze?
Analizza l’esempio che ti ho fatto. 
Quando ho moltiplicato le x tra di loro ho sommato gli esponenti (sommo perché si tratta di un prodotto).
La stessa cosa ho fatto quando ho moltiplicato le y tra di loro.
La z è solo nel secondo monomio e quindi l’ho ricopiata.
 
Alla fine se proprio vuoi riassumere puoi dire che “si moltiplicano i coefficienti (occhio prima il segno) si sommano gli esponenti delle lettere uguali.
 

Divisione tra monomi.

Prima di passare agli esempi ti anticipo che la divisione tra monomi restituisce un monomio solo se il primo monomio è divisibile per il secondo.

Quando succede questo?

Il monomio A è divisibile per il monomio B, se la sua parte letterale contiene tutte le lettere di B ( o qualcuna in più) con esponenti maggiori o uguali rispetto a quelli che compaiono in B.

Esempio subito.

Considera i due monomi.

15x^5y^2z^3 \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, 3x^2yz^2

Sono divisibili tra loro?

Osserva la parte letterale. 

Il primo monomio contiene tutte le lettere del secondo monomio. Ogni lettera del primo monomio ha esponente maggiore o uguale rispetto a quelle del secondo monomio.

Per cui i due monomi sono divisibili tra di loro.

Ti faccio un altro esempio:

12a^3b^2 \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, 4a^5bc

Questi monomi sono divisibili? O meglio, il primo monomio è divisibile per il secondo monomio?

No!

Infatti, il secondo monomio contiene una lettera in più rispetto a al primo monomio, cioè la c. 

E già questo basterebbe per escludere la divisibilità.

Ma anche se non contenesse questa lettera in più, la a del primo monomio ha un esponente minore di quella del secondo monomio.

Adesso che hai capito quando puoi dividere due monomi tra di loro, facciamo la divisione tra i primi due monomi, quelli divisibili. Per effettuare questa operazione devi utilizzare la seguente proprietà delle potenze:

a^{n }:{a^m}=a^{n-m}

Quindi avrai:

(15x^5y^2z^3) : (3x^2yz^2)=5x^{(5-2)}y^{(2-1)}z^{(3-2)}=5x^3yz

In altre parole ho diviso i coefficienti tra loro (sempre occhio al segno) e sottratto gli esponenti delle lettere uguali per la proprietà delle potenze che ti ho scritto sopra.

Potenza di un monomio

Per calcolare la potenza di un monomio devi sfruttare un’altra proprietà delle potenze: la potenza di una potenza. Te la scrivo sotto:

({a^{n })}^m=a^{n\cdot{m}}

Ti faccio un esempio:

(3a^2b^3c)^{3}={(3)}^3{(a^2)}^3{(b^3)}^3{(c)}^3=27a^6b^9c^3

Quindi, se vuoi calcolare la potenza di un monomio elevandolo ad n devi:

  • elevare ad n il suo coefficiente;
  • moltiplicare per n ciascuno dei coefficienti delle sue lettere.

 

Espressioni con i monomi

Se hai capito e sai applicare bene tutto ciò che ti ho spiegato in questa lezione sei pronto o pronta anche per le espressioni.

Per svolgerle basta applicare le regole che abbiamo visto finora man mano che incontriamo i vari tipi di operazioni nell’espressione che stiamo svolgendo.

Il modo migliore per capirlo è passare alla pratica. 

Quindi svolgiamo insieme la seguente espressione:

24x^6y^4 : (-8x^4y^3)+(-3x)(-2xy)+5x^2y=

Qual è la prima cosa da fare?

Osservare l’espressione da sinistra verso destra e capire quali operazioni svolgere per prima.

Se non ricordi bene come fare vai a ripassare la lezione sulle espressioni.

In questo caso svolgi la prima divisione e poi di seguito la moltiplicazione:

 

=-3x^2y+6x^2y+5x^2y=

Come vedi hai ottenuto monomi simili che puoi sommare tra loro, ottenendo:

=(-3+6+5)x^2y=8x^2y

Riepilogo

I monomi sono la grammatica dell’algebra. Se impari a riconoscerli, leggerli, sommarli e moltiplicarli con sicurezza, tutto il resto ti sembrerà più semplice.

Capirli bene vuol dire:

  • Saper riconoscere quando si possono sommare
  • Evitare errori nei calcoli
  • Procedere più velocemente e con sicurezza;
 
Ora che hai preso confidenza con i monomi (spero), sei pronta o pronto a entrare nel mondo dei polinomi: dove i termini si sommano, le regole si intrecciano e la matematica inizia a raccontare storie più complesse… ma sempre risolvibili con ordine e metodo!”

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I monomi
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Quando si comincia a studiare l’algebra, la prima cosa che si incontra sono loro: i monomi.

A un primo sguardo possono sembrare semplici.  Dopotutto, sono solo numeri e lettere messi insieme. Ma dietro questa apparente semplicità si nasconde una struttura che accompagna tutta la matematica delle superiori (e anche oltre).

Spesso, però, i monomi vengono dati per scontati dagli studenti e dalle studentesse.

Li si liquida in fretta per correre a esercizi più complessi, ma se non si è padrone di questa base, tutto quello che viene dopo — polinomi, scomposizione, equazioni — si trasforma in un percorso a ostacoli.

In questo articolo voglio guidarti alla scoperta dei monomi con calma e chiarezza.

Vedremo insieme cos’è un monomio, come si riconosce, quali sono le sue parti, e come fare tutte le operazioni fondamentali.

Se vuoi davvero costruire basi solide in algebra, questo è il punto da cui partire.

Però prima vorrei farti una piccola premessa. Nell’articolo vedrai che spesso userò delle definizioni per introdurre i vari concetti.

E no, le definizioni non sono un optional, qualunque scuola tu faccia. Ma sono importantissime.

In matematica, ogni parola ha un significato preciso. Una definizione non è un esercizio di memoria, ma una mappa che ti guida nei ragionamenti.

Conoscere bene una definizione ti permette di:

  • Riconoscere subito un oggetto matematico (come distinguere un monomio da un polinomio);

  • Sapere cosa puoi farci (quali operazioni sono ammesse e quali no);

  • Evitare errori che derivano da confusione tra concetti simili (come sommare monomi non simili);

  • Affrontare problemi complessi partendo da basi solide.

Spesso quando non riesci a risolvere un esercizio, non è perché non sei “portata o portata”, ma solo perché non hai chiaro cosa stai guardando. Le definizioni servono proprio a questo: a fare chiarezza!

Le definizioni le trovi nei vari paragrafi in corsivo.

Detto questo possiamo iniziare.

Perché i monomi sono importanti

Con i monomi introduciamo il calcolo letterale e iniziamo a costruire le basi dell’algebra.

Un monomio è come una parola in una frase: da sola può sembrare che non abbia senso, ma è indispensabile per costruire significati. In algebra, i monomi sono i mattoni che ci permettono di:

  • Semplificare espressioni
  • Risolvere equazioni
  • Comprendere i polinomi
  • Scomporre e fattorizzare

Se non hai capito i monomi, quindi, non puoi comprendere bene gli argomenti successivi.

Definizione di monomio

Cos’è un monomio?

È un’espressione costituita da un coefficiente (numero) e da lettere (parte letterale) legati solo da operazioni di moltiplicazione.

Quindi:

  • il numero si chiama coefficiente.
  • Le lettere possono avere degli esponenti, che devono essere numeri naturali. Questo vuol dire niente esponenti negativi. 

Anche se dovresti saperlo, dalla lezione sulle potenze, ti specifico meglio cosa voglio dire, quando dico che non ci devono essere potenze con esponenti negativi…non ci devono essere lettere al denominatore!

Numeri si, ma lettere no!

Ad esempio:

2a^2b^3c

è un monomio perché, come dice la definizione, c’è un coefficiente (la parte numerica) e una parte letterale. Tutte le lettere hanno come esponenti numeri naturali.

2a^2\frac{b^3}{c}

non è un monomio perché la lettera  c si trova al denominatore e questo vuol dire che il suo esponente è pari a -1 (che non è un numero naturale).

Ti ricordo, non si sa mai, che i numeri naturali sono i numeri interi e positivi :).  

Ti aggiungo un’altra precisazione. E lo faccio partendo da un esempio.

Supponi di avere la seguente scrittura:

3x^2y^4x^2\frac{2}{5}

Questo è un monomio, ne ha tutte le caratteristiche, ma non è scritto in forma normale. Cosa voglio dire?

Un monomio è scritto in forma normale quando ha un solo coefficiente e la parte letterale è formata da lettere che compaiono una sola volta, ciascuna con il proprio coefficiente.

Allora cosa devi fare per portare questo monomio in forma normale? 

Moltiplichi tra loro i coefficienti e le lettere uguali, per poi riscrivere il monomio

Dalla moltiplicazione tra i coefficienti otterrai: 

3\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{5}

Dalla moltiplicazione tra le lettere uguali (x in questo caso) avrai:

x^2\cdot x^2=x^4

Quindi il tuo monomio scritto in forma normale sarà:

\frac{6}{5}x^4y^4

Grado di un monomio

 

Devi distinguere tra grado rispetto ad una lettera e grado complessivo.

Mi raccomando, questa distinzione è importante.

Ora ti darò entrambe le definizioni, accompagnando ciascuna con un esempio.

” Il grado di un monomio rispetto ad una lettera è il grado con cui compare quella lettera.”

Considera il seguente monomio:

7a^3b^2c^4d
  • il grado rispetto alla lettera a è 3;
  • il grado rispetto alla lettera b è 2;
  • il grado rispetto alla lettera c è 4;
  • il grado rispetto alla lettera d è 1;

Invece cos’è il grado complessivo?

Si ottiene sommando i gradi di tutte le lettere.

Quindi la definizione è:

“il grado complessivo di un monomio è la somma dei gradi delle singole lettere che compongono la parte letterale”.

Considera il monomio precedente. Se sommi i gradi di ogni lettera otterrai: 

                                                                  3+2+4+1 = 10

Monomi simili, opposti e uguali

Leggi questo paragrafo con attenzione perché è fondamentale per la comprensione degli argomenti seguenti.

Pronto o pronta? 

Iniziamo con la prima definizione.

“Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale”

Questo vuol dire che ci devono essere le stesse lettere con gli stessi esponenti.

Sono simili i due seguenti monomi:

-5a^3b^4c^2 \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, 7a^3b^4c^2

Non sono simili i seguenti monomi:

3a^2b^4c^3 \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, 2a^4b^2c

Perché non sono simili? Guardali bene. hanno le stesse lettere è vero, ma le terre hanno esponenti diversi. basta anche solo una lettera con esponente diverso perché non siano simili. 

Quindi fai attenzione perché è uno degli errori più frequenti quello di pensare che due monomi siano simili perché ci sono le stesse lettere, anche se gli esponenti sono diversi.

Stessa parte letterale vuol dire stesse lettere con gli stessi esponenti.

E i monomi opposti?

“Due monomi sono opposti se hanno la stessa parte letterale e coefficienti opposti.”

Ad esempio sono monomi opposti:

-3x^2y^4z^3 \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, +3x^2y^4z^3

Come vedi, i due monomi hanno la stessa parte letterale, ma i coefficienti sono uno l’opposto dell’altro.

Ti ricordo cosa vuol dire opposti.

Quando sommi due numeri opposti la loro somma fa zero. 

Ricorda questa definizione perché ti servirà per dopo.

Quando invece due monomi sono uguali?

Quando hanno la stesso coefficiente e la stessa parte letterale.

Anche in questo caso ti faccio un esempio:

-7x^2y^4z^3 \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, -7x^2y^4z^3

sono due monomi uguali

Operazioni tra monomi

 Te l’ho già detto, ma sono sicura che una raccomandazione in più non fa mai male.

Non passare a questo paragrafo se prima non hai fatto un sufficiente numero di esercizi sui paragrafi precedenti.

Quando un numero di esercizi si può definire sufficiente?

Diciamo così.

Quando ti rendi conto che li sai fare…devi farne ancora almeno altri dieci!

Somma algebrica tra monomi

 La somma di due o più monomi simili è un monomio che ha:

  • per coefficiente la somma dei coefficienti;
  • per parte letterale la stessa parte letterale dei monomi di partenza.

Perché specifico che i monomi devono essere simili?

Perché solo la somma o la differenza di monomi simili mi restituisce un monomio!

Ti faccio subito un esempio:

+5a^3b^2c+4a^3b^2c=(5+4)a^3b^2c=9a^3b^2c

Riguarda bene la definizione. In poche parole, devi sommare i coefficienti e ricopiare la parte letterale.

Qui preferisco farti altri esempi. Considera la seguente differenza:

+8x^2y^3z-3x^2y^3z=(8-3)x^2y^3z=5x^2y^3z

Come ti ho detto nel caso dei numeri relativi, quando ti ho parlato delle regola dei segni, anche in questo caso possiamo parlare di somma algebrica.

Infatti, la sottrazione tra due numeri o espressioni può essere considerata come la somma tra il primo termine e l’opposto del secondo termine.

Quindi se hai dubbi vai a ripassare i numeri relativi.

Ti faccio un altro esempio:

-8x^2y^3z^4-3x^2y^3z^4=(-8-3)x^2y^3z^4=-11x^2y^3z^4

Questo è il caso in cui i due coefficienti hanno lo stesso segno negativo. 

Ribadisco: se hai dubbi non andare avanti, ma ripassa i numeri relativi!

Prodotto tra monomi

Il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha:

  • per coefficiente il prodotto dei coefficienti;
  • per parte letterale tutte le lettere che compaiono nei fattori elevati alla somma degli esponenti con cui ciascuna lettera compare.
Cosa vuol dire? 
Ti faccio subito un esempio. Ma tu prima leggi bene la definizione. 
 
(+5x^ 3y^2)(-2x^2yz)=-10x^{(3+2)}y^{(2+1)}z=-10x^5y^3z

Vediamo come ho fatto.

Quando esegui una moltiplicazione tra due monomi fai questi passaggi in ordine:

  • Prima stabilisci il segno, quindi moltiplica segno per segno secondo le regole che trovi in questa lezione;
  • il secondo step è quello di moltiplicare i coefficienti tra loro;
  • l’ultimo step è quello di moltiplicare le lettere tra loro usando le proprietà delle potenze. 
Cosa intendo quando dico che appena moltiplichi le lettere tra loro devi usare le proprietà delle potenze?
Analizza l’esempio che ti ho fatto. 
Quando ho moltiplicato le x tra di loro ho sommato gli esponenti (sommo perché si tratta di un prodotto).
La stessa cosa ho fatto quando ho moltiplicato le y tra di loro.
La z è solo nel secondo monomio e quindi l’ho ricopiata.
 
Alla fine se proprio vuoi riassumere puoi dire che “si moltiplicano i coefficienti (occhio prima il segno) si sommano gli esponenti delle lettere uguali.
 

Divisione tra monomi.

Prima di passare agli esempi ti anticipo che la divisione tra monomi restituisce un monomio solo se il primo monomio è divisibile per il secondo.

Quando succede questo?

Il monomio A è divisibile per il monomio B, se la sua parte letterale contiene tutte le lettere di B ( o qualcuna in più) con esponenti maggiori o uguali rispetto a quelli che compaiono in B.

Esempio subito.

Considera i due monomi.

15x^5y^2z^3 \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, 3x^2yz^2

Sono divisibili tra loro?

Osserva la parte letterale. 

Il primo monomio contiene tutte le lettere del secondo monomio. Ogni lettera del primo monomio ha esponente maggiore o uguale rispetto a quelle del secondo monomio.

Per cui i due monomi sono divisibili tra di loro.

Ti faccio un altro esempio:

12a^3b^2 \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, 4a^5bc

Questi monomi sono divisibili? O meglio, il primo monomio è divisibile per il secondo monomio?

No!

Infatti, il secondo monomio contiene una lettera in più rispetto a al primo monomio, cioè la c. 

E già questo basterebbe per escludere la divisibilità.

Ma anche se non contenesse questa lettera in più, la a del primo monomio ha un esponente minore di quella del secondo monomio.

Adesso che hai capito quando puoi dividere due monomi tra di loro, facciamo la divisione tra i primi due monomi, quelli divisibili. Per effettuare questa operazione devi utilizzare la seguente proprietà delle potenze:

a^{n }:{a^m}=a^{n-m}

Quindi avrai:

(15x^5y^2z^3) : (3x^2yz^2)=5x^{(5-2)}y^{(2-1)}z^{(3-2)}=5x^3yz

In altre parole ho diviso i coefficienti tra loro (sempre occhio al segno) e sottratto gli esponenti delle lettere uguali per la proprietà delle potenze che ti ho scritto sopra.

Potenza di un monomio

Per calcolare la potenza di un monomio devi sfruttare un’altra proprietà delle potenze: la potenza di una potenza. Te la scrivo sotto:

({a^{n })}^m=a^{n\cdot{m}}

Ti faccio un esempio:

(3a^2b^3c)^{3}={(3)}^3{(a^2)}^3{(b^3)}^3{(c)}^3=27a^6b^9c^3

Quindi, se vuoi calcolare la potenza di un monomio elevandolo ad n devi:

  • elevare ad n il suo coefficiente;
  • moltiplicare per n ciascuno dei coefficienti delle sue lettere.

 

Espressioni con i monomi

Se hai capito e sai applicare bene tutto ciò che ti ho spiegato in questa lezione sei pronto o pronta anche per le espressioni.

Per svolgerle basta applicare le regole che abbiamo visto finora man mano che incontriamo i vari tipi di operazioni nell’espressione che stiamo svolgendo.

Il modo migliore per capirlo è passare alla pratica. 

Quindi svolgiamo insieme la seguente espressione:

24x^6y^4 : (-8x^4y^3)+(-3x)(-2xy)+5x^2y=

Qual è la prima cosa da fare?

Osservare l’espressione da sinistra verso destra e capire quali operazioni svolgere per prima.

Se non ricordi bene come fare vai a ripassare la lezione sulle espressioni.

In questo caso svolgi la prima divisione e poi di seguito la moltiplicazione:

 

=-3x^2y+6x^2y+5x^2y=

Come vedi hai ottenuto monomi simili che puoi sommare tra loro, ottenendo:

=(-3+6+5)x^2y=8x^2y

Riepilogo

I monomi sono la grammatica dell’algebra. Se impari a riconoscerli, leggerli, sommarli e moltiplicarli con sicurezza, tutto il resto ti sembrerà più semplice.

Capirli bene vuol dire:

  • Saper riconoscere quando si possono sommare
  • Evitare errori nei calcoli
  • Procedere più velocemente e con sicurezza;
 
Ora che hai preso confidenza con i monomi (spero), sei pronta o pronto a entrare nel mondo dei polinomi: dove i termini si sommano, le regole si intrecciano e la matematica inizia a raccontare storie più complesse… ma sempre risolvibili con ordine e metodo!”

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