Anche le potenze fanno parte di quegli argomenti che devi sapere senza pensarci più di tanto se non vuoi avere problemi.
Se pensi che sia arrivato il momento di capirle e saperle applicare bene questo è l’articolo giusto.
Analizzeremo bene cosa sono e troverai tutto quello che devi sapere per non avere più dubbi.
Per farlo devi leggere e studiare l’articolo con attenzione.
Non devi farlo per forza in un solo giorno. Magari fai qualche paragrafo al giorno.
Quello che è importante è che tu abbia la massima concentrazione quando leggi.
Quindi spegni le notifiche del cellulare e vai:).
Definizione di potenza
Le potenze servono a semplificarci un po’ la vita.
Non ci credi? Te lo dimostro :).
Consideriamo 3 e moltiplichiamolo cinque volte per sé stesso:
Possiamo scrivere questa moltiplicazione in forma più compatta:
Si legge “3 elevato a 5 o tre alla quarta”.
Il numero 3 si chiama base e il numero 5 si chiama esponente.
Quindi se volessi moltiplicare il 3 per sé stesso 20 volte anziché scrivere la moltiplicazione potrei scrivere:
Quindi. con le potenze si possono scrivere numeri grandissimi occupando pochissimo spazio.
Direi che adesso possiamo dare la definizione di potenza:
Si definisce potenza il prodotto del numero per sé stesso tante volte quante ne indica l’esponente.
E se eleviamo un numero a zero? Questa risposta dovresti già saperla perchè è una delle regole più conosciute.
“Qualsiasi numero elevato a zero fa sempre uno.
Potenza di un numero relativo
I numeri relativi, come sappiamo, possono essere positivi o negativi.
Cosa succede quado li eleviamo a potenza?
Analizziamo tutti i casi!
Applicheremo la regola dei segni.
Quindi se non la ricordo ripassala!
Numero positivo elevato a potenza dispari
Numero positivo elevato a potenza pari
Eleviamo a potenza pari lo stesso numero positivo:
Numero negativo elevato a potenza dispari
Consideriamo un numero negativo e lo eleviamo a potenza dispari.
Ricorda che in un prodotto, se moltiplichi tra loro un numero dispari di segni negativi il risultato è negativo.
Numero negativo elevato a potenza pari
Eleviamo a potenza pari lo stesso numero negativo:
Ricorda che in un prodotto, se moltiplichi tra loro un numero pari di segni negativi il risultato è positivo.
Come possiamo riassumere questi risultati che abbiamo ottenuto?
“La potenza di un numero positivo è sempre un numero positivo.
La potenza di un numero negativo è un numero negativo se la potenza è dispari ed è un numero positivo se la potenza è pari.”
Potenza con esponente negativo
Cosa succede se l’esponente è negativo?
Ad esempio, consideriamo la seguente potenza:
Se inverti la base puoi fare diventare l’esponente positivo:
Possiamo quindi enunciare una regola generale e scrivere:
Ricordati che se parliamo della potenza di un numero relativo, non devi dimenticare le regole che abbiamo enunciato prima, quando abbiamo parlato di potenza di numeri relativi.Ma è sempre necessario far diventare l’esponente positivo?
Non sempre potrebbe essere conveniente o necessario.
È pur sempre un passaggio in più e soprattutto quando la potenza con esponente negativo è legata ad altre potenze da operazioni di moltilicazione e di divisione, risparmiare un passaggio non è un vantaggio da sottovalutare.
Lo so che in questo momento non è proprio chiarissimo quello che sto scrivendo. Ti chiedo solo di appuntarlo. ne riparleremo al momento opportuno :).
Potenza con esponente frazionario
Se l’esponente della potenza è una frazione quella che hai davanti a te è una radice.
“L’indice è il denominatore della frazione e il numeratore è l’esponente del radicando.”
La formula generale è:
Facciamo un esempio. Scriviamo sotto forma di radice la seguente potenza con indice frazionario:
La potenza sarà uguale ad una radice con indice uguale a 3 ed esponente del radicando pari a 2:
Proprietà delle potenze
Sono proprio queste proprietà che ci aiutano a semplificare i calcoli.
Vediamo quali sono e compe applicarle.
Prodotto di potenze con la stessa base
“Il prodotto di due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.”
Facciamo subito un esempio:
Hai capito perché ho parlato di semplificazione nei calcoli?
Se non avessimo sfruttato questa proprietà come avresti dovuto volgere l’esercizio precedente?
Dovevi prima svolgere le potenze e poi moltiplicare:
D’accordo, in questo caso non è un numero così grande.
Ma in questo caso, nemmeno gli esponenti sono tanto grandi.
Supponi di avere la seguente moltiplicazione, invece:
Come vedi qui il discorso cambia.
E ritrovarti questo numero (che è enorme), scritto in forma già compatta, ti evita un bel po’ di problemi:)!
E se abbiamo anche i segni?
Consideriamo la seguente moltiplicazione:
In questo caso dobbiamo fare attenzione anche ai segni
- (+3) resta con il suo segno perché l’esponente è dispari;
- (-3) cambierà segno, perché il “- “elevato a potenza pari diventa “+”.
Quindi possiamo scrivere la moltiplicazione di sopra come:
Prodotto di potenze con lo stesso esponente
Consideriamo la seguente moltiplicazione:
Stavolta abbiamo basi diverse ma lo stesso esponente.
Come procediamo? Possiamo svolgere le potenze e poi moltiplicare:
Se osserviamo con attenzione però ci rendiamo conto che le due potenze hanno lo stesso esponente.
Possiamo applicare la seguente proprietà:
“Il prodotto di due potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente quello comune.”
Possiamo sfruttare questa proprietà nell’esercizio che abbiamo visto:
Divisione di potenze con la stessa base
“La divisione di due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base quella comune e per esponente la differenza degli esponenti.”
Dove possiamo sfruttare questa proprietà?
- Nelle divisioni come la seguente:
- Nelle espressioni quando ci sono dei rapporti.
Ad esempio, come devo comportarmi in un caso come questo?
Quindi il rapporto non è altro che una divisione.
Divisione di potenze con lo stesso esponente
“La divisione di due potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per base il rapporto delle basi e per esponente quello comune.”
Come usiamo questa regola?
In un esercizio come il seguente ad esempio:
Potenza di potenza
“La potenza di una potenza è una potenza che ha per esponente il prodotto delle potenze e per base la stessa base della potenza di partenza”
Quando la usiamo?
Facciamo un esempio:
Riepilogo
Come dobbiamo comportarci quando dobbiamo svolgere operazioni con le potenze?
- Guardo se ho un prodotto o una divisione;
- Guardo se ho la stessa base o lo stesso esponente;
- Se ho la stessa base applico la proprietà delle potenze corrispondente;
- Se ho lo stesso esponente applico la proprietà delle potenze corrispondente;
- Evito quando posso applicare le proprietà di svolgere le potenze senza aver prima semplificato applicando le opportune proprietà.
